Dans un autre article, je présentais les hypersolides de Platon : les 6 polychores réguliers convexes qui existent en géométrie 4D. Parmi eux, je m’attardais sur le 24-Cellules, anomalie symétrique engendrant la famille semi-régulière des polytopes de Gosset dont la lignée s’achève en dimension 8.

Toutefois, une famille d’objets n’a néanmoins pas encore été abordée : les hypersphères.

Différence entre sphères  et polytopes

Les polytopes se construisent par des sommets (coordonnées spatiales) reliés par des arêtes. Les hypersphères, elles, n’ont pas de sommets. Elles sont construites par des cercles générateurs.

Logique de construction 3D

Une sphère s’obtient en empilant des cercles parallèles autour de l’axe polaire, ou bien en faisant tourner un cercle méridien autour de l’axe polaire.

Logique de construction 4D

Il existe trois représentations majeures du glome (hypersphère 4D). Techniquement, c’est une variété 3D, nommée 3-sphère (hypersurface) qui évolue dans un environnement 4D. Par analogie : une sphère classique (dite 2-sphère) est une variété 2D dans notre espace 3D.

Construction n°1 : maillage hyperméridien

Un glome s’obtient en faisant tourner une sphère dans la 4ème dimension. Chaque section plane du glome dans la 4D fait apparaître de nouveaux grands cercles hyperméridiens qui se projettent en 3D sous la forme d’un pseudo “champ magnétique”. En inclinant les plans de coupe, on obtient des quasi-hyperméridiens avec des formes plus ou moins exotiques.

Dans les dimensions > 4, la logique se maintient : les hyperméridiens issus des dimensions lointaines continuent de se projeter sous des formes 3D plus ou moins élégantes.

Construction n°2 : Stratification / Suspension

La stratification est le résultat en coupes d’une construction topologique nommée suspension (extrusion comprimée en un point dans une nouvelle dimension).

Exemple 3D : deux cercles ne peuvent pas “fusionner” leurs frontières dans un plan 2D, mais cela devient possible en ajoutant la 3ème dimension. On empile ainsi des cercles de diamètre de plus en plus petit jusqu’aux pôles.

Extension en 4D : un glome s’obtient ainsi en empilant des sphères parallèles autour de l’axe hyperpolaire (qui dirige la 4D). Là encore, les sphères empilées se resserrent (diamètre décroissant) jusqu’au pôle. On obtient visuellement une structure faite de strates sphériques imbriquées. Plus on s’approche des hyperpôles, plus la strate est compacte.

Dans les dimensions > 4, la logique se maintient : deux glomes se superposent et se resserrent dans la 5D, et ainsi de suite.

Construction n°3 : Hybridation

L’hybridation combine les deux méthodes précédentes. C’est une approche personnelle consistant qui n’est pas vraiment étudiée dans la littérature. Elle consiste en une suspension où les strates sont reliées par des hyperméridiens connecteurs.

• 3D : une sphère se représente par deux cercles reliés par des méridiens.
• 4D : deux sphères 3D reliés par des 4D-hyperméridiens.
• 5D : deux glomes 4D reliés par des 5D-hyperméridiens.

Construction n°4 : Fibration

La 4ème dimension propose une construction exceptionnelle : la fibration de Hopf, rendue possible par les rotations planes gouvernées par les nombres complexes unitaires.. Il est possible de couvrir un glome avec des grands cercles entrelacés qui ne se croisent jamais ! Alors qu’en 3D, deux grands cercles distincts se croisent toujours deux fois. Le vrai visage 3D de la fibration de Hopf s’apparente à un enchevêtrement de tores fibrés.

Cette représentation exceptionnelle n’existe pas qu’en 4D. Elle resurgit avec les extensions des nombres complexes en dimension 8 et 16.

Les nombres quaternions généralisent les complexes et permettent la fibration  quaternionique (fibres-glomes constituant la 7-sphère).

• Les octonions permettent la fibration octonionique, la dernière des fibrations (fibres 
• heptasphériques constituant la 15-sphère via 7 unités imaginaires).

Chaque algèbre hypercomplexe renonce à une propriété : les complexes perdent l’ordre, les quaternions la commutativité, et les octonions l’associativité. Les tentatives d’extension (sédénions) perdent la division et n’autorisent plus les fibrations. Un mur théorique se dresse en dimension 16.

Mais rassure-toi, les hypersphères, avec leurs suspensions et hyperméridiens, continuent néanmoins de transcender toutes les dimensions.

Et dans Malgovert ?

La légende raconte que la 8e porte des 120-Cellules ne s’ouvre qu’à l’approche d’une boule portant la signature dimensionnelle des octonions.