Les solides de Platon

Nombreux sont les scientifiques de l’Antiquité à avoir étudié les solides de Platon : Pythagore, Euclide, etc. On peut y voir une fascination pour leur esthétique particulière. Platon associait chaque polyèdre régulier convexe à un élément :

• Tétraèdre : pointe —> Feu
• Cube : stabilité —> Terre
• Octaèdre : légèreté —> Air
• Icosaèdre : quasi-sphère —> Eau
• Dodécaèdre : divine proportion (via le pentagone dont la géométrie repose sur le nombre d’or) —> Éther / Cosmos / Quintessence

Ces solides possèdent des extensions quadridimensionnelles, découvertes il y a plus d’un siècle, mais presque personne n’a vus. Ils ne sont pas simples à visualiser, car il faut les projeter en 3D pour deviner une partie de leur silhouette.

La géométrie quadridimensionnelle est d’ailleurs la plus riche en “polytopes” (généralisation des polygones/polyèdres) réguliers, convexes et finis. J’exclus les dimensions 1 et 2 qui sont dégénérées et en tolèrent une infinité.

Parenthèse lexicale

En 4D, on les appelle les polychores (“plusieurs cellules”). En prenant l’exemple de la famille du cube :

• Point = 0-polytope
• Segment = 1-polytope
• Carré = 2-polytope = polygone
• Cube = 3-polytope = polyèdre
• Tesseract = 4-polytope = polychore
• Penteract (5-cube) = 5-polytope
• …
• Dekeract (10-cube) = 10-polytope

Les 6 hypersolides de Platon (polychores réguliers convexes)

Tout d’abord, les trois familles qui s’étendent à toutes les dimensions :

• Le pentachore, 5-cellules, famille simplexe, extension du tétraèdre, cinq sommets équidistants en 4D
• Le tesseract, 8-cellules, famille hypercube, le plus célèbre dans les domaines artistiques ; voici d’ailleurs un article introductif centré sur le tesseract (qui permet d’appréhender plus facilement la transition 3D-4D)
• L’hexadécachore, 16-cellules, famille orthoplexe, extension de l’octaèdre, emblème des pyramides multidimensionnelles

Et voici les 3 exclusivités de la 4D :

• L’icositétrachore, 24-cellules, anomalie 4D dont la symétrie n’a aucun équivalent 3D. Son analogue 3D le plus proche serait le granatoèdre, une figure semi-régulière à  12 losanges.
• L’hécatonicosachore, 120-cellules,  un monstre de 120 dodécaèdres, 720 faces pentagonales. Une structure transcendée par le nombre d’or.
• L’hexacosichore, 600-cellules, une polychore ultra-dense de 600 tétraèdres. Il est l’inversion structurelle du 120-cellules.

Pour ma part, les polychores m’évoquent la symétrie et la complémentarité des pièces d’un échiquier :

• Pentachore : simplicité —> Pion
• Tesseract : orthogonalité —> Tour
• Hexadécachore : dual du tesseract (pyramide) = diagonales —> Fou
• 24-Cellules : hybridation spéciale du tesseract et de l’hexadécachore —> Cavalier
• 120-Cellules : structure fondamentalement pentagonale = mouvement des “5 autres” —> Dame
• 600-Cellules : dual du 120-Cellules et ultra-densité = mouvement contraint —> Roi

Et s’il faut trouver le 6ème élément (pour honorer le 24-Cellules), j’ai plusieurs candidats : la foudre (voire le plasma), la lumière ou les ténèbres…

Pourtant, ça reste des dessins en 3D ?

Mais en fait, les polychores de ce carrousel sont-ils en 3D ?

En effet, on n’a nul autre choix que de projeter les polytopes en 3D ou 2D pour analyser leur silhouette. C’est un peu comme faire les radio d’un corps humain : on perd une partie de l’information, mais on révèle une structure inaccessible à l’œil.

Pratiquement tous les modèles d’intelligence artificielle ont recours à ces techniques de “réduction dimensionnelle” : ACP, ACM, auto-encoders, embeddings… Cela permet de réduire le nombre de variables à traiter (et donc de réduire la complexité algorithmique), mais aussi de faciliter les phases exploratoires en visualisant les corrélations et multi-colinéarités.

J’aime beaucoup les techniques de réduction dites factorielles. Parce qu’elles sont assez simples à interpréter, et aussi parce que certaines d’entre elles, comme l’ACM, ont été inventées par des Français dans les années 60, sous l’impulsion du statisticien Jean-Paul Benzécri. Très vieille technique, certes. Personnellement, je continue de l’utiliser aujourd’hui. Car elle est simple et efficace, donc élégante. Cette technique est d’ailleurs l’ancêtre des algorithmes d’embedding de co-occurrences, qui ont posé les bases de la sémantique vectorielle dans les IA d’aujourd’hui.

Dans le carrousel, je montre une projection particulière : le polygone de Petrie. C’est une projection plane globale qui ne favorise aucune face ni aucune arête. Elle montre en particulier l’enveloppe extérieure d’un polytope sous la forme d’un polygone régulier. C’est une photo 2D (on parle de projection orthographique) assez spectaculaire dans la mesure où elle démontre le caractère hautement symétrique de ces objets, pourvu qu’on choisisse les bons angles de projection.

Fiche technique de ces monstruosités géométriques