Les portraits des hypersolides, ça reste des dessins en 3D ?

On me demande souvent : les polychores et polytopes de Gosset présents de les carrousels sont-ils en 3D ?

En effet, on n’a nul autre choix que de projeter les polytopes en 3D ou 2D pour analyser leur silhouette. C’est un peu comme faire les radio d’un corps humain : on perd une partie de l’information, mais on révèle une structure inaccessible à l’œil.

Pratiquement tous les modèles d’intelligence artificielle ont recours à ces techniques de “réduction dimensionnelle” : ACP, ACM, auto-encoders, embeddings… Cela permet de réduire le nombre de variables à traiter (et donc de réduire la complexité algorithmique), mais aussi de faciliter les phases exploratoires en visualisant les corrélations et multi-colinéarités.

J’aime beaucoup les techniques de réduction dites factorielles. Parce qu’elles sont assez simples à interpréter, et aussi parce que certaines d’entre elles, comme l’ACM, ont été inventées par des Français dans les années 60, sous l’impulsion du statisticien Jean-Paul Benzécri. Très vieille technique, certes. Personnellement, je continue de l’utiliser aujourd’hui. Car elle est simple et efficace, donc élégante. Cette technique est d’ailleurs l’ancêtre des algorithmes d’embedding de co-occurrences, qui ont posé les bases de la sémantique vectorielle dans les IA d’aujourd’hui.

Dans le carrousel, je montre une projection particulière : le polygone de Petrie. C’est une projection plane globale qui ne favorise aucune face ni aucune arête. Elle montre en particulier l’enveloppe extérieure d’un polytope sous la forme d’un polygone régulier. C’est une photo 2D (on parle de projection orthographique) assez spectaculaire dans la mesure où elle démontre le caractère hautement symétrique de ces objets, pourvu qu’on choisisse les bons angles de projection.

C’est joli tout ça, mais à quoi ça sert ?

Je pense que l’aspect symétrique, cristallin, voire quasi fractal, est particulièrement esthétique. Pour des logos ou des emblèmes, par exemple. Par exemple, j’utilise une projection plane de tesseract pour le logo de mon app Hypersolid.

Ensuite en maths, la construction de ce type d’objets permet de s’approprier en profondeur des outils d’algèbre linéaire comme les matrices. Les matrices servent à effectuer des opérations dans des espaces. Mais dans l’espace géométrique 3D (ou plus), les matrices permettent d’effectuer des rotations, des symétries et des permutations. C’est sur cette logique que l’on construit les polytopes.

Enfin, comme expliqué précédemment, ces objets revêtent un intérêt quant au concept de projection, qui est au centre de la visualisation multidimensionnelle. On me dit que les images sont en 3D. C’est vrai. Mais c’est là où c’est intéressant. Car on peut ramener dans notre monde, la 3D, des objets qui échappent à nos perceptions sensorielles. C’est un peu comme les radiographies d’un corps humain. Tu obtiens des coupes en 2D, et en les combinant, tu te fais une bonne idée de la forme 3D. Là, c’est pareil avec des objets 4 ou 5D.