Précédemment, dans les hypersolides de Platon, on a vu que la quatrième dimension constitue une fenêtre géométrique splendide qui se referme hélas bien vite.

Au-delà de la 4D, les polytopes réguliers convexes s’effondrent jusqu’à se réduire à trois familles universelles : les simplexes, les hypercubes, les orthoplexes. La fête est terminée… ou presque.

Il reste une anomalie. Une signature. Sans équivalent 3D. Une graine à la croisée des chemins qui fend l’espace pour donner naissance à une nouvelle lignée d’hypersolides aussi sensationnels qu’inattendus.

F4 : l’accident qui démarre une nouvelle branche

Le 24-cellules (icositétrachore) est le sixième et dernier polychore régulier convexe. On l’a vu dans l’article précédent : malgré ses faux airs d’hypergranatoèdre, il présente une symétrie entre l’hypercube et l’hyperoctaèdre que nulle autre dimension ne reproduit. Autodual de surcroît (il est sa propre inversion structurelle, comme les simplexes). Cette curiosité appartient au groupe de symétrie F4, un groupe algébrique qui n’apparaît ni en 3D ni au-delà de la 4D.

Ce qui est remarquable, c’est que F4 n’est pas une impasse, mais le point de départ d’un nouveau schéma architectural. Le 24-cellules est en réalité la première pierre hyperangulaire d’une lignée de polytopes semi-réguliers exceptionnels qui s’étend très précisément de la cinquième à la huitième dimension. On les appelle les polytopes de Gosset, du nom du mathématicien britannique Thorold Gosset qui les a découverts en 1900, à 23 ans, dans un mémoire resté largement ignoré pendant des décennies. Une discrétion qui, rétrospectivement, contraste assez violemment avec l’importance de ce qu’il avait trouvé.

Alors, ils ont beau être “exceptionnels” (pas de schéma généralisable), ces objets fascinants perdent la couronne de la régularité. C’est pour cela qu’ils ne sont pas des hypersolides platoniques. Ces joyaux “semi-réguliers” sont en effet constitués non plus d’un seul type de cellule, mais d’un mélange de simplexes et d’orthoplexes. Voilà leur seul “défaut d’impureté”. Deux briques élémentaires au lieu d’une.

L’ascension : de F4 à E7

La lignée de Gosset monte par paliers, chaque dimension ajoutant une couche de complexité et de densité.

En 5D, le demipenteract fait le pont. C’est la moitié d’un penteract (le 5-cube) construite selon le schéma structurel de Gosset : il appartient aux familles fondamentales, donc il n’est pas exceptionnel au sens strict, mais il assure la continuité entre le 24-cellules et ce qui vient ensuite. Une pièce de transition, ni tout à fait régulière ni encore pleinement exceptionnelle.

En 6D, les choses sérieuses commencent. Le polytope 2.21 rompt avec les familles fondamentales : c’est le groupe de symétrie E6. Le polytope lui-même est relativement léger pour sa dimension, presque élancé : seulement 27 sommets, quelques 1080 tétraèdres. Pas de quoi effrayer un hexeract (cube 6D).

En 7D, le polytope 3.21 du groupe E7 augmente la densité d’un cran : 56 sommets, mais déjà plus de 10 000 tétraèdres. Si le 2.21 était une esquisse, le 3.21 représente un portrait presque saturé : chaque sommet est entouré d’une quantité de cellules qui rend toute projection 3D difficilement lisible. Mais il n’incarne que le “dauphin” de la lignée, une étape de transition, une montée harmonique avant la résolution…

Groupe E8 : l’ultime frontière

Le polytope 4.21 est le monarque 8D des polytopes de Gosset. 240 sommets, près de 250 000 tétraèdres.

C’est le dernier objet exceptionnel de ce type. Au-delà de la 8D, les tentatives d’extension ne produisent plus de polytopes, mais des pavages infinis dans des espaces affines ou hyperboliques. L’espace change de nature. Et la lignée de Gosset s’arrête net.

Ce qui rend E8 singulier, ce n’est pas seulement sa taille, c’est que son groupe de symétrie réapparaît dans des domaines éloignés de la géométrie. En théorie des cordes, E8 est l’un des groupes de jauge qui permettent d’annuler certaines anomalies mathématiques dans les formulations à dix dimensions. En supergravité, il structure des symétries cachées des équations de champ. En 2007, le physicien Garrett Lisi a proposé une théorie unificatrice (baptisée “une théorie extraordinairement simple de tout”) dans laquelle les 240 sommets de E8 accueilleraient toutes les particules fondamentales connues et leurs interactions. L’approche reste controversée et non validée sur le plan expérimental, mais elle a eu le mérite de faire émerger E8 dans la presse grand public, une apparition rare pour un objet géométrique de la huitième dimension.

Ce que les cristallographes appellent le “réseau E8” est par ailleurs le meilleur empilement de sphères possible en dimension 8 : chaque sphère y touche exactement 240 voisines, un record de compacité. En 2016, la mathématicienne Maryna Viazovska a prouvé que ce réseau est optimal (une démonstration saluée par une médaille Fields en 2022). La beauté du polytope 4.21 n’est donc pas seulement visuelle. Elle est, d’une certaine façon, nécessaire.

Après E8 : le vrombissement des familles fondamentales

Au-delà de la 8D, les trois familles fondamentales – simplexes, hypercubes, orthoplexes – continuent sans fin, mais la fête exceptionnelle s’achève bien. On peut construire un dekeract (cube 10D), un simplexe en dimension 47, un orthoplexe en dimension 100. Ces objets sont réguliers et formellement définis par des coordonnées triviales, fussent-elles nombreuses. Mais ces démons géométriques ne surprennent plus. Ils demeurent le prolongement bassement prévisible d’une logique déjà présente depuis la 3D, là où les polytopes de Gosset étaient des accidents heureux, des structures symétriques qui n’auraient pas dû exister et qui pourtant se tenaient là avec une précision chirurgicale.

La 8D est une frontière solennelle. Ce qu’elle contient de ce côté-ci ne se retrouve nulle part ailleurs.

Dans mon roman Malgovert

Le chiffre 8 transcende mon thriller Malgovert, comme un fleuve souterrain et silencieux, irriguant les fondations profondes d’un territoire maudit. Les 8 cellules du tesseract, les 8 chambres pentagonales des labyrinthiques 120-Cellules, les pièces fortes d’un échiquier. Le 8 a cette qualité particulière d’appartenir à l’élégante suite de Fibonacci, d’évoquer à la fois l’achèvement (la boule de billard qui met un terme à la partie) et la continuité (la lemniscate de Bernoulli ou encore le symbole de l’infini de Wallis). Une frontière qui se mue en horizon.

Une place de choix dans la suite de Fibonacci, entre le 5 (allusion au pentagone, aux éléments de Platon, au premier palier de la lignée de Gosset) et le nombre 13 des constellations du Zodiaque.

À l’aube d’un nouvel ordre

On quitte l’empire des polytopes. La prochaine fois, on se donne rendez-vous pour pénétrer dans l’enceinte d’un royaume sensiblement différent, mais ô combien captivant ! Celui des hypersphères, ces objets sans face, ni arête, ni sommet, mais dont l’ascension dimensionnelle réserve des surprises au moins aussi grandes que celles des polytopes de Gosset.