Précédemment, dans les hypersolides de Platon et les polytopes de Gosset, on a pu appréhender les logiques de construction plus ou moins intuitives des solides qui prolongent les polyèdres réguliers convexes dans les dimensions 4 à 8.

Naviguer dans la structure des polytopes restait en partie intuitif : on pouvait compter les sommets, les arêtes, les cellules ; on percevait les longueurs et les angles (même déformés par la projection spatiale). On pouvait dessiner un patron et le replier mentalement (enfin, très grossièrement).

Au royaume des hypersphères, les logiques polytopales s’effondrent : les hypersphères n’ont pas de sommets ni de coordonnées locales. Elles ne se construisent pas par assemblage ; elles se génèrent par des cercles, des courbes qui tournent autour de chaque axe spatial. Formellement, une hypersphère centrée en un point, c’est l’ensemble des points situés à distance constante de ce centre. Définition banale en apparence, mais qui dissimule de nombreux modes de représentation.

Petit point de nomenclature : une hypersphère en dimension N+1 s’appelle N-sphère. Le nombre N correspond au nombre de paramètres angulaires nécessaires pour tracer l’hypersurface. Mais celle-ci évolue dans un espace en dimension N+1. Donc un cercle est une 1-sphère, et la sphère usuelle 3D est une 2-sphère.

Méridiens, parallèles… et hyperméridiens

La première approche est la plus naturelle. Quand on dessine une sphère, on trace un maillage : des cercles parallèles (les latitudes) et des grands cercles méridiens (les longitudes).

En dimension 4, on peut reproduire cette logique en traçant des “hyperméridiens” – des “grands cercles” qui passent par les hyperpôles et qui se courbent dans la quatrième dimension – que l’on projette dans notre espace 3D. Le résultat est amusant : ces cercles projetés ressemblent à des lignes de champ magnétique, comme si une force invisible infléchissait la courbure de l’espace autour d’un pôle invisible.

Si on incline légèrement les plans de coupe (en prenant des quasi-hyperméridiens qui ne passent pas exactement par les hyperpôles), les formes se diversifient et deviennent parfois plus exotiques. Un ordre se dessine dans le chaos.

Cette logique s’applique en 5D et au-delà. Les hyperméridiens issus des dimensions lointaines se projettent toujours en 3D, avec des déformations de perspective de plus en plus prononcées (note : les modes de projection orthographiques, c’est-à-dire sans perspective, ne conduisent pas à des déformations ; tous les hyperméridiens se confondent en 3D avec les méridiens habituels). La perspective, c’est un peu comme une ombre qui s’incline à mesure que le Soleil se couche. Chaque palier qui nous rapproche du crépuscule projette un hyperméridien venu des dimensions les plus lointaines.

Empiler des sphères jusqu’aux pôles : la suspension

La deuxième approche – la suspension – est topologique. Reprenons depuis le bas. En 2D, on ne peut pas faire accoler les bords de deux cercles dans un plan : ces derniers se chevauchent, se coupent, mais ne fusionnent pas proprement. Pour y parvenir, il faut monter en 3D : on empile alors des cercles parallèles de diamètre décroissant jusqu’à ce qu’ils s’écrasent sur un point (le pôle). Cette logique d’empilement et de contraction aux pôles correspond à une transformation qu’on appelle la suspension. Chaque cercle parallèle s’appelle “une strate”. C’est pourquoi on parle parfois de “stratification” : c’est simplement le résultat visuel que l’on obtient en sectionnant une hypersphère par un hyperplan.

Même problème en 3D : impossible de fusionner deux surfaces sphériques dans l’espace ordinaire. Il faut passer en 4D. On empile alors des sphères parallèles autour de l’axe hyperpolaire, avec un diamètre qui se resserre progressivement jusqu’aux hyperpôles. Vous pouvez imaginer que ce sont des sphères qui s’imbriquent (ainsi leur surface respective se touche parfaitement). Le pôle nord se trouve vers l’extérieur de l’empilement ; le pôle sud se situe quant à lui au centre. Mais en réalité, la quatrième dimension n’est pas visible pour nous. On ne voit que le résultat de la projection en 3D.

Le résultat, c’est le glome (nom donné à l’hypersphère 4D, alias 3-sphère, par les Anglo-Saxons), une structure de strates sphériques imbriquées, de plus en plus compactes à mesure qu’on s’approche des hyperpôles.

La logique se prolonge ainsi dans les espaces supérieurs : deux glomes se “superposent” et se resserrent dans la 5D, etc. À chaque étape, on monte d’un cran, et l’hypersphère de dimension suivante apparaît comme une suspension de la précédente. Et chaque hypersphère précédente devient le motif de strate pour la suspension suivante.

Une approche personnelle : l’hybridation hyperméridienne

Entre ces deux représentations, j’identifie une troisième voie. Approche personnelle que je qualifie simplement d’hybridation, mais que l’on ne trouve pas vraiment dans la littérature, car elle ne présente pas d’intérêt mathématique. Je trouve néanmoins qu’elle donne une autre vision du rôle des strates et hyperméridiens, en même temps.

L’idée est simple : plutôt que de tracer soit les grands hyperméridiens de l’hypersphère totale (dimension finale), soit l’empilement complet des strates de la dimension inférieure, on peut choisir de représenter seulement quelques strates, puis de les relier entre elles par des hyperméridiens locaux issus de la dimension finale.

En 3D, ça revient à dessiner quelques cercles parallèles bien choisis sur une sphère, puis à les connecter par des méridiens : on obtient une représentation partielle, mais fidèle à la courbure de l’enveloppe complète.

En 4D, on relie quelques sphères imbriquées par des 4D-hyperméridiens. Le résultat est visuellement plus riche que la suspension seule, et plus structuré que le maillage d’hyperméridiens pur. C’est une façon de voir simultanément la profondeur des strates et les connexions qui les traversent dans l’enveloppe supérieure.

Ce que la dimension 4 dissimule…

Les trois approches précédentes fonctionnent dans toutes les dimensions. Il suffit d’ajouter des angles et de tracer des cercles inclinés dans les nouvelles directions spatiales.

Mais il en existe une quatrième représentation, réservée à des dimensions très particulières, et dont la dimension 4 est le premier exemple non trivial : la fibration de Hopf.

En 3D, si on trace deux grands cercles distincts sur une sphère, ils se croisent nécessairement en deux points. C’est inévitable, c’est une contrainte topologique en trois dimensions. En 4D, ce n’est plus le cas : il est possible de couvrir un glome avec une infinité de grands cercles entrelacés qui ne se croisent jamais. Chaque cercle est disjoint de tous les autres, et ensemble, ils partitionnent parfaitement la “surface” du glome : chaque point de la 3-sphère appartient à un unique cercle.

Cet échafaudage visuel est rendu possible par les nombres complexes qui gouvernent les rotations dans un plan et qui permettent de simplifier les équations pour faire émerger un ensemble infini de cercles-fibres qui définissent l’enveloppe du glome. Et quand on projette ces fibres dans notre espace 3D, on obtient un enchevêtrement de tores imbriqués, chaque tore étant lui-même constitué de cercles qui ne se croisent jamais.

La dimension 4 revêtait déjà une symbolique particulière pour les polytopes : elle était le siège des polychores F4 et H4 dont le schéma n’existe pas au-delà. Une fois encore, avec la fibration complexe de Hopf, la 4D montre une richesse spatiale que jalousent les autres hyperespaces.

Les ultimes paliers : dimensions 8 et 16

La fibration de Hopf ne se reproduit pas dans n’importe quel espace. Elle resurgit exactement dans les dimensions 8 et 16 (des multiples de 4), et nulle part ailleurs.

En 8D, la fibration est dite “quaternionique”, car les équations se simplifient en utilisant les nombres quaternions : nombre à quatre composantes (1 réelle, 3 imaginaires) que l’on retrouve en rotation spatiale, en mécanique quantique (spineurs) et dans la construction des polychores exceptionnels H4. Ici, les fibres ne sont plus des cercles, mais des glomes tout entiers qui s’inclinent dans les hautes dimensions.

En dimension 16, c’est la fibration octonionique, la dernière. Les octonions – encore une extension des nombres complexes, avec sept unités imaginaires – permettent de couvrir la 15-sphère avec des fibres heptasphériques (7-sphères). On retrouve les octonions dans la théorie des cordes, dans les algèbres de Lie et dans la construction du polytope de Gosset suprême qui règne en dimension 8 : le 4.21.

Et en dimension 16 ?

Au-delà, les tentatives d’extension comme les nombres sédénions en dimension 32 se heurtent à un obstacle fondamental : ils perdent la multiplication des modules qui assure que les distances se maintiennent à 1 que les fibres se ferment correctement.

En fait, chaque algèbre hypercomplexe renonce à une propriété mathématique forte : les complexes perdent l’ordre (a ≱ b), les quaternions la commutativité (ab ≠ ba), et les octonions l’associativité (a(bc) ≠ (ab)c). Les tentatives d’extension (sédénions) perdent la division (on découvre des multiples de zéro). Un mur théorique se dresse en dimension 16, et les fibrations s’arrêtent là, comme si la géométrie elle-même avait épuisé ses tolérances.

Ce n’est peut-être pas un hasard si le chiffre 8 – celui des cellules du tesseract, celui de la dimension où surgissent le polytope 4.21 et la fibration quaternionique – est aussi le reflet de la lemniscate de Bernoulli et de son cousin, le symbole de l’infini de Wallis. Certains motifs reviennent, dans les mathématiques, avec une insistance qui ressemble à de l’élégance. Et dans la suite de Fibonacci, le 8 forme une paire particulière aux côtés du nombre 5 (le pentagone et par extension, la divine proportion d’or).

Et dans Malgovert ?

Dans mon roman, le héros doit franchir un labyrinthe de salons pentagonaux, nommé 120-Cellules, pour découvrir la vérité sur son passé. Et dans les entrailles de celui-ci, la légende raconte que la huitième porte ne s’ouvre qu’à l’approche d’une boule portant la signature dimensionnelle des octonions.

13 mars 2042, 13 constellations du Zodiaque.

8 pièces d’échiquiers, 8 jours pour achever l’équinoxe.

5 moulins génèrent 5 sérums, 5 cartes de tarot symbolisent 5 sens et 5 éléments.

Un passé et un avenir qui ne se parlent plus.

Une identité qui, jour après jour, s’évanouit.