Dans un autre article, je présentais les hypersolides de Platon : les 6 polychores réguliers convexes qui existent en géométrie 4D. Parmi eux, je m’attardais sur le 24-Cellules, anomalie symétrique engendrant la famille semi-régulière des polytopes de Gosset dont la lignée s’achève en dimension 8.

Toutefois, une famille d’objets n’a néanmoins pas encore été abordée : les hypersphères.

Différence entre sphères  et polytopes

Les polytopes se construisent par des sommets (coordonnées spatiales) reliés par des arêtes. Les hypersphères, elles, n’ont pas de sommets. Elles sont construites par des cercles générateurs.

Logique de construction 3D

Une sphère s’obtient en empilant des cercles parallèles autour de l’axe polaire, ou bien en faisant tourner un cercle méridien autour de l’axe polaire.

Logique de construction 4D

Il existe trois représentations majeures du glome (hypersphère 4D). Techniquement, c’est une variété 3D, nommée 3-sphère (hypersurface) qui évolue dans un environnement 4D. Par analogie : une sphère classique (dite 2-sphère) est une variété 2D dans notre espace 3D.

Construction n°1 : maillage hyperméridien

Un glome s’obtient en faisant tourner une sphère dans la 4ème dimension. Chaque section plane du glome dans la 4D fait apparaître de nouveaux grands cercles hyperméridiens qui se projettent en 3D sous la forme d’un pseudo “champ magnétique”. En inclinant les plans de coupe, on obtient des quasi-hyperméridiens avec des formes plus ou moins exotiques.

Dans les dimensions > 4, la logique se maintient : les hyperméridiens issus des dimensions lointaines continuent de se projeter sous des formes 3D plus ou moins élégantes.

Construction n°2 : Stratification / Suspension

La stratification est le résultat en coupes d’une construction topologique nommée suspension (extrusion comprimée en un point dans une nouvelle dimension).

Exemple 3D : deux cercles ne peuvent pas “fusionner” leurs frontières dans un plan 2D, mais cela devient possible en ajoutant la 3ème dimension. On empile ainsi des cercles de diamètre de plus en plus petit jusqu’aux pôles.

Extension en 4D : un glome s’obtient ainsi en empilant des sphères parallèles autour de l’axe hyperpolaire (qui dirige la 4D). Là encore, les sphères empilées se resserrent (diamètre décroissant) jusqu’au pôle. On obtient visuellement une structure faite de strates sphériques imbriquées. Plus on s’approche des hyperpôles, plus la strate est compacte.

Dans les dimensions > 4, la logique se maintient : deux glomes se superposent et se resserrent dans la 5D, et ainsi de suite.

Construction n°3 : Hybridation

L’hybridation combine les deux méthodes précédentes. C’est une approche personnelle consistant qui n’est pas vraiment étudiée dans la littérature. Elle consiste en une suspension où les strates sont reliées par des hyperméridiens connecteurs.

• 3D : une sphère se représente par deux cercles reliés par des méridiens.
• 4D : deux sphères 3D reliés par des 4D-hyperméridiens.
• 5D : deux glomes 4D reliés par des 5D-hyperméridiens.

Construction n°4 : Fibration

La 4ème dimension propose une construction exceptionnelle : la fibration de Hopf, rendue possible par les rotations planes gouvernées par les nombres complexes unitaires.. Il est possible de couvrir un glome avec des grands cercles entrelacés qui ne se croisent jamais ! Alors qu’en 3D, deux grands cercles distincts se croisent toujours deux fois. Le vrai visage 3D de la fibration de Hopf s’apparente à un enchevêtrement de tores fibrés.

Cette représentation exceptionnelle n’existe pas qu’en 4D. Elle resurgit avec les extensions des nombres complexes en dimension 8 et 16.

Les nombres quaternions généralisent les complexes et permettent la fibration  quaternionique (fibres-glomes constituant la 7-sphère).

• Les octonions permettent la fibration octonionique, la dernière des fibrations (fibres 
• heptasphériques constituant la 15-sphère via 7 unités imaginaires).

Chaque algèbre hypercomplexe renonce à une propriété : les complexes perdent l’ordre, les quaternions la commutativité, et les octonions l’associativité. Les tentatives d’extension (sédénions) perdent la division et n’autorisent plus les fibrations. Un mur théorique se dresse en dimension 16.

Mais rassure-toi, les hypersphères, avec leurs suspensions et hyperméridiens, continuent néanmoins de transcender toutes les dimensions.

Et dans Malgovert ?

La légende raconte que la 8e porte des 120-Cellules ne s’ouvre qu’à l’approche d’une boule portant la signature dimensionnelle des octonions.

Annexes

Construction des fibrations : pas à pas en 4D

Le but de la fibration, c’est de représenter un objet 4D complexe comme le glome S3) comme une collection organisée d’objets simples en 3D (des cercles S1). On veut partitionner le glome point par point en cercles disjoints,

1) Équation initiale

Rappel :

• Un cercle dans le plan a pour équation : x^2 + y^2 = 1
• Une sphère dans l’espace a pour équation : x^2 + y^2 + z^2 = 1
• Et donc le glome S3 dans R4 : x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1

Regroupement par paires de réels en complexes (i étant le nombre imaginaire usuel) :

• c0 = x + i*y
• c1 = z + i*w

Équation simplifiée avec des modules : |c0|^2 + |c1|^2 = 1

Cette expression correspond à un cercle dans le plan complexe C2. Voilà le côté pratique des complexes : en manipulant un cercle dans un plan, on peut faire des opérations en 4D. Il faut juste se souvenir que chaque axe du repère est lui-même un complexe (donc deux variables réelles = un plan)

2) Construction de la fibre (intersection)

Tout point du glome appartient à une droite complexe passant par l’origine dans C2 (un plan à variables complexes, avec pour base de repère c0 et c1).

Équation de la droite complexe de direction p : c1 = p * c0

Une droite complexe, vue comme objet réel, est simplement un plan euclidien R2.

Cette droite complexe intersecte le cercle (un plan qui intersecte le glome) à une distance de 1 de l’origine. Mais comme c’est un objet complexe, cette distance, c’est un module. Or un objet de module 1, c’est un cercle. L’intersection es donc l’ensemble des points de module 1 sur cette droite complexe, donc un cercle dans l’espace 4D. C’est ça qu’on appelle la fibre.

Le glome est donc partitionné en une infinité de cercles disjoints, un par droite complexe. Les droites se coupent toutes en l’origine (0,0), qui n’est pas sur le glome, donc les cercles sont bien disjoints.

3) Paramétrage (coordonnées) de la fibre

Une droite complexe dans C2 est définie par sa pente : p = c1 / c0 (avec p dans C, c0 étant complexe non nul). p est un complexe quelconque, sans contrainte de module. Cas limite : p = infini correspond à la droite c0 = 0.

On substitue c1 = p* c0 dans l’équation du glome (|c0|^2 + |c1|^2 = 1) :

• |p|^2 * |c0|^2 + |c0|^2 = 1
• => |c0| = 1 / sqrt(|p|^2 + 1)
• => |c1| = |p| / sqrt(|p|^2 + 1)

On peut assister écrire l’expression de c0 et c1 sous forme canonique avec des module et arguments (angles) :

• c0 = |c0| * exp(i*eta)
• c1 = |c1| * exp(i*(eta + arg(p)))

Pour p fixé, les modules de c0 et c1 sont entièrement déterminés. Le degré de liberté restant est l’angle êta (argument de c1). L’argument de c1 suit avec un déphasage fixe valant arg(p).

La fibre est donc l’ensemble des points {(c0, c1)} avec êta variant dans [0 ; 2*pi [. C’est un cercle S1 paramétrisés par êta, mais qui orbite selon 4 variables réelles.

Forme explicite en coordonnées réelles (avec theta/2 = colatitude sur S2) :

• x = cos(théta/2) * cos(êta)
• y = cos(théta/2) * sin(êta)
• z = sin(théta/2) * cos(phi + êta)
• w = sin(théta/2) * sin(phi + êta)

4) Notion de “base” de structure

On connaît désormais les paramétrages à 4 dimensions de ces cercles (= fibres). Mais on peut formaliser ce paramétrage de manière plus élégante.

p varie dans C U {inf}. C’est un plan complexe auquel on ajoute un point à l’infini (celui qui correspondait à c0 = 0 => p infini). On parle de compactification par un point de C ~ R2, qui donne S2. C’est ce qu’on appelle la sphère de Riemann. Cette correspondance entre plan complexe et sphère simple (3D) est une propriété que l’on peut voir comme l’inverse d’une projection stéréographique.

Rappel de la projection stéréographique : si on place une lanterne au pôle nord et qu’on regarde la projection (ombre) de tous les points de la sphère sur un plan tangent au pôle sud, alors on remarque que chaque point de la sphère, à l’exception du pôle nord, possède un point projeté unique sur le plan tangent et réciproquement. Le pôle nord est le fameux point à l’infini.

En quelque sorte, l’inverse de la projection stéréographique, c’est considérer qu’on peut “enrouler le plan tangent” (un plan complexe) pour recouvrir une sphère (sans le pôle nord). Au final, l’ensemble de p (qui définisse les directions des plans intersectant le glome), qui est défini comme l’ensemble des complexes + un point infini, peut donc se représenter de manière analogue par une sphère.

Cette sphère, c’est comme une carte de construction des fibres. C’est un espace d’indexage : chaque point de S2 est une étiquette pour une droite complexe, donc pour un cercle-fibre. Chaque point de la sphère correspond à un p spécifique, qui définit une fibre précise (sous contrainte de module 1).

Construction des fibrations en 8D et 16D

La logique est globalement la même : on regroupe les variables de l’équation de l’hypersphère en paires de réels. Cela donne un cercle dans un plan à variables quaternioniques (4 réels sous-jacents) et octonioniques.

Il y a quelques obstacles à lever (les contraintes de module = 1 et de multiplications ont des conséquences un peu différentes).

Typiquement, les écritures canoniques :

• c0 = |c0| * exp(i*eta)
• c1 = |c1| * exp(i*(eta + arg(p)))

qui supposent notamment que arg(a*b) = arg(a) + arg(b) n’est vrai proprement que dans les complexes. Les exponentielles des quaternions et octonions ne respectent plus cette propriété. Mais on peut quand même créer des fibres non circulaires.

En revanche, en 32D, avec les nombres sédénions, même la condition du module = 1 n’est pas garantie : |p* s0| n’est pas toujours égal à |p|*|s0|. Donc l’intersection de la droite sédénionique avec l’hypersphère n’est pas bien définie : la fibre ne se ferme plus et la logique s’effondre.