Les polytopes sont la généralisation des polygones et polyèdres à toutes les dimensions, et le tesseract en est le représentant le plus célèbre (cf. précédent article sur le tesseract).

On va maintenant aller plus loin… beaucoup plus loin.

Les solides de Platon, c’est ce club très fermé des cinq polyèdres réguliers convexes que les Grecs étudiaient déjà avec passion : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, l’icosaèdre, le dodécaèdre. Seulement cinq exemplaires 3D satisfont aux contraintes de régularité et de convexité. Pas un de plus. Fasciné par leur esthétique et leurs propriétés, Platon leur associait les éléments de la nature : le feu, la terre, l’air, l’eau et l’éther (la quintessence, le cosmos, le “tout”) ; une façon poétique de dire que ces formes étaient les briques fondamentales des essences qui nous entourent.

Une question émerge : que se passe-t-il si on pose les mêmes contraintes en quatre dimensions ? Combien de polychores réguliers convexes existe-t-il ?

La réponse est six, ni plus ni moins. Et c’est là que les choses deviennent vraiment intéressantes. Car la quatrième dimension est l’espace le plus riche de tous les univers.

Trois membres fondamentaux, trois exclusivités

Les six polychores réguliers convexes se divisent en deux groupes de nature très différente. Le premier rassemble trois familles “fondamentales” dont le motif architectural s’applique à toutes les dimensions, sans limite théorique. On les connaît déjà en filigrane : le pentachore (5-cellules), extension du tétraèdre ; le tesseract ou octachore (8-cellules), extension du cube ; et l’hexadécachore (16-cellules), extension de l’octaèdre. Chacun est l’héritier logique d’un solide de Platon, promu dans la dimension supérieure selon les mêmes règles de construction.

Le second groupe, plus étrange, est qualifié d’exceptionnel, car leur conception ne se généralise pas. Il contient d’une part deux prolongements platoniques : l’hécatonicosachore (120-cellules), extension du dodécaèdre ; et l’hexacosichore (600-cellules), extension de l’icosaèdre. Mais il inclut aussi une véritable exclusivité : l’icositétrachore, 24-cellules, anomalie 4D dont la symétrie n’a aucun équivalent 3D. Il est le seul objet régulier convexe à n’exister qu’en dimension 4, ni en dessous ni au-delà. Accidentelle beauté mathématique rendue possible par le parfait compromis entre ouverture spatiale et contrainte architecturale.

Les trois polychores des familles fondamentales

Pentachore (5-cellules)

Le pentachore est le plus épuré (c’est pour ça qu’on l’appelle le 4-simplexe) : cinq sommets équidistants en 4D, dix arêtes, dix faces triangulaires, cinq cellules tétraédriques. Héritier du tétraèdre, je le rattacherai logiquement au feu. Dans mes inspirations rédactionnelles où j’associe les polychores aux pièces d’un échiquier ou aux cartes de tarot, je le verrais bien incarner le Pion – la pièce la plus légère, celle par laquelle tout commence – et l’As, simple et unique.

Sa projection de Petrie (une projection plane qui ne favorise aucune face ni aucune arête, et révèle la symétrie globale du polytope) dessine un pentagramme inscrit dans un pentagone. Une connotation quasi mystique qui renforce sa symbolique.

Il est un des rares objets multidimensionnels que l’on retrouve très clairement dans l’informatique. Son architecture a inspiré l’algorithme du simplexe, algorithme d’optimisation utilisé en planification et logistique.

Tesseract (8-cellules)

Le tesseract a déjà été longuement abordé dans cet article. En conséquence, je n’insisterai pas sur le bel équilibre de sa simplicité structurelle et de sa robustesse pandimensionnelle. Sur l’échiquier des analogies, ce représentant de la Terre pourrait incarner la Tour – orthogonalité pure, mouvements rectilignes – et la carte du Valet – serviteur du royaume.

Hexadécachore (16-cellules)

L’hexadécachore est le dual du tesseract, ce qui signifie qu’on l’obtient en permutant centres des cellules et sommets. Là où le tesseract a 16 sommets et 8 cellules cubiques, l’hexadécachore a 8 sommets et 16 cellules tétraédriques. Une sorte d’inversion structurelle, comme le négatif d’une photographie appliqué à l’architecture plutôt qu’aux couleurs. En géométrie, les duaux sont hautement révélateurs : ils montrent ce que la forme originale “cache” dans la symétrie de sa structure. Une anti-ombre, un complément, une permutation. Symbole logique de l’air, je l’associe au Fou : il se déplace en diagonale, là où la Tour (son dual, le tesseract) avance en lignes droites. Côté tarot, je le verrais bien représenter le numéro 8, par sa légèreté aérienne et par la disposition des symboles (sur la carte) en parfaites diagonales symétriques.

Les trois exclusivités de la 4D

Les trois membres des familles fondamentales reposent sur des schémas de construction généralisables à l’infini. Les trois polychores exceptionnels, quant à eux, ne survivent qu’en 4D. Tentez de les concevoir en dimension 5 ou au-delà : les contraintes géométriques se referment sur elles-mêmes et les formes disparaissent.

Icositétrachore (24-cellules)

Le 24-cellules est une pure anomalie sans analogue tridimensionnel direct. Son équivalent le plus proche serait le rhombododécaèdre (encore appelé dodécaèdre rhombique ou granatoèdre), une figure semi-régulière à 12 losanges, mais la filiation demeure lointaine. En 4D, sa symétrie est si particulière qu’il est à la fois auto-dual (il est son propre dual) et constitué de 24 cellules octaédriques. Aucune autre dimension ne produit quelque chose d’équivalent (en dehors du simplexe qui est fondamental). Dans la taxonomie de l’échiquier, il incarnerait selon moi le Cavalier : la pièce qui ne se déplace pas comme les autres, dont le mouvement en L défie la logique du plateau. Au tarot, il se rattacherait logiquement au Cavalier, d’autant plus que cette tête n’apparaît pas dans les sets traditionnels à 52 cartes.

Le 24-cellules est peut-être le polychore le plus discret du point de vue culturel. Il n’a pas inspiré de films, ni de tableaux célèbres, ni de logos de franchise. Et c’est précisément ce qui le rend intrigant : une forme d’une symétrie extrême, exclusive à la 4D, et pourtant invisible dans notre imaginaire collectif. L’anomalie parfaite que personne ne veut comprendre. Un véritable Serpentaire de l’astrologie zodiacale. Un sixième sens.

Hécatonicosachore (120-cellules)

Le 120-cellules est le colosse labyrinthique. 120 dodécaèdres, 720 faces pentagonales, 1200 arêtes, 600 sommets. Sa structure est entièrement gouvernée par le nombre d’or : les coordonnées de ses sommets font intervenir φ et ses puissances. C’est l’extension 4D du dodécaèdre, et comme lui, il évoque quelque chose de divin ; ce n’est pas un hasard si Platon associait le dodécaèdre à l’éther, la quintessence du cosmos.

Dans la culture populaire, le dodécaèdre et le pentagone ont une présence modérée, mais récurrente. Symbole de l’éther platonique – le cinquième élément –, on les retrouve dans les dés à 12 faces des jeux de rôle (le d12 des donjons et dragons). Le 120-cellules en définit le prolongement démesuré ; sa description chiffrée suffit à donner le vertige. À mes yeux, le nombre de parcours et d’orbites au sein de la structure défie l’entendement.

Côté analogie, il symbolise l’éther (le tout) et incarne selon moi la Dame, autant sur l’échiquier qu’au tarot. La Dame peut se mouvoir plus que n’importe quelle autre pièce. Toutes les directions et toutes les portées lui sont accessibles.

Hexacosichore (600-cellules)

Le 600-cellules est l’inverse structurel du 120-cellules (son dual), comme le 16-cellules est le dual du tesseract. 600 tétraèdres, 1200 faces, 720 arêtes, 120 sommets. Là où le 120-cellules est gouverné par les pentagones et l’espace, le 600-cellules est une densité pure, une compression extrême de la matière géométrique dont l’enveloppe est celle qui se rapproche le plus de l’hypersphère quadridimensionnelle. L’icosaèdre dont il hérite a inspiré les architectures géodésiques de Buckminster Fuller, ou encore dans la structure des fullerènes, molécules de carbone qui s’apparentent à des ballons de foot.

Emblème de l’eau (le fleuve de la vie), il représente bien entendu le Roi sur l’échiquier (et au tarot) : la pièce dense au mouvement contraint, duale de la Dame, lente et puissante, dont la protection est l’enjeu de toute la partie.

Le mur de la 4D

De toutes les hyperespaces, la 4D reste la plus riche en polytopes réguliers. En 3D, cinq solides ; en 4D, six polychores. En dimension 5 et plus, seules les trois familles fondamentales subsistent (les simplexes, les hypercubes et les orthoplexes), comme si l’espace se contraignait lui-même. La quatrième dimension demeure un palier exceptionnel, une fenêtre géométrique aux possibles démultipliés qui s’ouvre un bref instant sous nos yeux pour mieux s’effondrer. Le 24-cellules, le 120-cellules et le 600-cellules ne franchissent pas le mur de la 4D. Ce sont des formes qui n’auraient pas dû exister et qui pourtant s’y trouvent avec une précision chirurgicale. C’est pour cela qu’ils sont “exceptionnels”, en plus d’être platoniques.

Les solides de Platon dans Malgovert

Dans mon roman Malgovert, les solides de Platon ne sont pas qu’un clin d’œil mathématique en arrière-plan : ils structurent discrètement le plan de l’intrigue. Les lecteurs ne sont pas tenus de les repérer pour avancer. Mais ils n’en restent pas moins une prophétie, un rêve prémonitoire annonçant d’avance les lieux que le héros, Alec, devra traverser pour comprendre sa destinée.

En effet, dès le premier quart du livre, Alec tombe sur une carte de tarot où figure le symbole B4 inscrit dans un carré. Un détail en apparence insignifiant. Mais un carré est une projection du cube, et le cube est le symbole platonicien de la terre, et par extension, un décor qui le représente pleinement : le cimetière de Malgovert. Ce que la carte semble annoncer à demi-mot, au travers d’une inscription manuscrite et ésotérique : Seul, face au destin, je touchai la terre humide et cendrée qui recouvrait son poussiéreux cercueil.

D’autres formes font irruption sur d’autres cartes : un triangle, un losange, un pentagone… autant d’éléments que de lieux qui s’y réfèrent. Encore une fois, il s’agit d’un plan crypté. Mais ceux qui préfèrent se laisser porter pourront tout à fait les ignorer.

L’échiquier que je me suis amusé à introduire dans cet article est lui aussi de la partie : le choix des cartes de tarot, les formes, les chiffres. Rien n’est vraiment décoratif. L’enjeu pour le lecteur sera d’être plus rapide qu’Alec pour découvrir le rôle de l’échiquier.

Et côté 4D, j’ai souhaité rendre hommage aux 120-Cellules, ce lieu immense et anormal dont la structure vertigineuse défie les férus de labyrinthes. 120-Cellules est ainsi le nom donné à un assemblage de salons pentagonaux dont le franchissement constitue une épreuve mentale supplémentaire.

Et si la résolution se trouvait inscrite sur un objet mathématique dont il est l’héritier ?

Le voyage n’est pas terminé

Les six polychores réguliers convexes ne sont que le début de l’envolée spatiale. On a vu que la 4D abrite une anomalie : le 24-cellules. Il s’avère que ce polychore spécifique marque l’origine d’une nouvelle lignée de polytopes semi-réguliers qui s’étendent jusqu’en dimension 8, où ils atteignent une densité époustouflante. Ces structures sont les polytopes de Gosset, dont le groupe de symétrie apparaît en théorie des cordes et en supergravité. Et c’est là notre prochaine destination.